Opérateurs différentiels
Définition : un champ scalaire est la donnée en tout point M de l’espace, d’une grandeur scalaire f (M,t).
Exemple : le potentiel électrique V ( M, t ), la température T ( M, t ).
Un champ scalaire est donc une fonction réelle de 4 variables ( 3 variables d’espace et le temps ).
En coordonnées cartésiennes : f ( x, y, z, t ) ; cylindriques : f ( r, q , z, t ) ; sphériques : f ( r, q , j ).
Définition : un champ vectoriel est la donnée en tout point M de l’espace, d’un vecteur a (M,t).
Exemple : le champ électrique E ( M, t ), la vitesse v ( M, t ).
Un champ vectoriel est donc une fonction de 4 variables ( 3 variables d’espace et le temps ) dans R3.
En coordonnées cartésiennes : E ( x, y, z, t ) = Ex ( x, y, z, t ) ex + Ey ( x, y, z, t ) ey + Ez ( x, y, z, t ) ez
Ex , Ey, Ez sont trois champs scalaires.
En coordonnées cylindriques : E ( r, q , z, t ) = Er ( r, q , z, t ) er + Eq ( r, q , z, t ) eq + Ez ( r, q , z, t ) ez
En coordonnées sphériques : E ( r, q , j , t ) = Er ( r, q , j , t ) er + Eq ( r, q , j , t ) eq + Ej ( r, q , j , t ) ej
Les opérateurs différentiels sont des combinaisons de dérivées partielles par rapport aux coordonnées d’espace.
Le gradient s’applique à un champ scalaire f ( M, t ) et renvoie un vecteur.
Définition : Soit f ( M,t ) un champ scalaire. Soit dl = dOM un déplacement élémentaire du point M considéré. Au cours de ce déplacement f varie de df . Le gradient du champ scalaire f ( M, t ) est le champ vectoriel grad f tel que :
df = grad f . dl
Expression en cartésiennes : df = et dl = dx ex + dy ey + dz ez donc
grad f = ex +
ey +
ez
Expression en cylindriques :
Expression en sphériques :
Propriété : en tout point M, grad f est un vecteur orthogonal à la surface équi-f qui passe par M.
Preuve :
Propriété : en tout point M, grad f est dirigé vers les f croissants
Preuve :
La divergence s’applique à un champ vectoriel a ( M, t ) et renvoie un champ scalaire.
Définition : soit un point M et un petit volume dV autour de M. Soit dS la surface qui délimite dV. Soit dF le flux du champ vectoriel a à travers dS. On appelle divergence en M du champ vectoriel a le scalaire div a tel que :
dF = div ( a ) dV
Expression en cartésiennes : : a ( x, y, z, t ) = ax ( x, y, z, t ) ex + ay ( x, y, z, t ) ey + az ( x, y, z, t ) ez
div a = +
+
Il existe des expressions de la divergence en coordonnées cylindriques et en coordonnées sphériques mais elles sont compliquées, et pas de la même forme qu’en coordonnées cartésiennes !
Théorème de Green – Ostrogradsky :
Soit un volume V de l’espace et un champ vectoriel a ( M,t ). Soit S la surface qui délimite le volume V.
Le flux de a à travers S est égal à l’intégrale de volume de div ( a ) sur le volume V.
Le rotationnel s’applique à un champ vectoriel et renvoie un champ vectoriel.
Définition : soit un point N et un petit contour fermé dG autour de N.Le contour fermé délimite une petite surface dS = dS n. Soit un champ vectoriel a ( M, t ). Soit dC la circulation de a sur dG .
Le rotationnel en N du champ vectoriel a se note rot ( a ) ( N ) et c’est le vecteur tel que :
dC = rot ( a ) . dS
Expression en cartésiennes :
rot ( a ) = ex +
ey+
ez
Comme pour la divergence, il existe une expression du rotationnel en cylindriques et en sphériques mais elles sont compliquées et pas de la même forme qu’en cartésiennes.
Théorème de Stokes - Ampère :
Soit une surface ouverte S qui s’appuie sur un contour fermé G . Soit un champ vectoriel a ( M,t ).
La circulation de a sur le contour G est égale au flux de rot ( a ) à travers S.
Le Laplacien scalaire agit sur un champ scalaire et renvoie un champ scalaire.
Expression en cartésiennes : D
f =
Expression en cylindriques ou en sphériques :compliquées et pas de la même forme !
Le Laplacien vectoriel agit sur un champ vectoriel et renvoie un champ vectoriel.
Expression en cartésiennes : D a = D ax ex + D ay ey + D az ez
Expression en cylindriques ou en sphériques :compliquées et pas de la même forme !
Le vecteur Nabla Ñ est un vecteur symbolique qui permet de noter commodément les différents opérateurs différentiels.
En coordonnées cartésiennes :
Ñ
= ex +
ey +
ez
Quel que soit le système de coordonnées :
grad f = Ñ f ; div a = Ñ . a ; rot a = Ñ ^ a ; D f = Ñ 2 f
Tous les opérateurs différentiels sont linéaires :
Op ( a a ) = a Op ( a ) ; Op ( a1 + a2 ) = Op ( a1 ) + Op ( a2 )
Op ( a f ) = a Op ( f ) ; Op ( f1 + f2 ) = Op ( f1 ) + Op ( f2 )
div ( grad f ) = D f ; div ( rot a ) = 0 ; rot ( grad f ) = 0 ;
rot ( rot a ) = grad ( div a ) - D a